SPIS TREŚCI (pdf)Szanowni Państwo,„Świat Matematyki” okazuje się od ponad 14 lat. Od początku wydania wszystkie teksty tu zamieszczane, są pisane bardzo prostym (potocznym niekiedy) językiem, stając się zrozumiałymi dla każdego czytelnika, by mógł zanurzyć się w piękny, nieznany świat matematyki i zmierzać do nowych odkryć. Polecamy poprzednie wydania Świata Matematyki, z dokładnym opisem, dostępne w naszym zawiązku z naszymi dziesiątymi urodzinami, chcemy umożliwić wszystkim skompletowanie lub uzupełnienie swojej kolekcji i oferujemy numery od 2 do 41 w promocyjnej cenie 6 zł, a przy łącznym zakupie powyżej 10 szt. – koszt jednego egzemplarza wyniesie tylko 3 złote! Promocja trwa do wyczerpania nakładu danego numeru – ilości egzemplarzy są ograniczone. Uzupełnij brakujące wydania!W każdym wydaniu są publikowane zadania do samodzielnego rozwązania związane z tematyką prezentowaną przez Świat Matematyki. Dodatkowo publikujemy zadania w ramach konkursów, organizowanych przez nasze wydawnictwo. W następnych numerach lub na naszej stronie są zamieszczane ich rozwiązania. Zapraszamy do podróży przez Świat Matematyki. Poprzednie wydania powinny być dostępne w naszym sklepie internetowym. Świat Matematyki nr 1– Programowanie dynamiczne – technika matematyczna stosowana do podejmowania najkorzystniejszych decyzji. – Teoria grafów stworzona przez Leonharda Eulera. – Zadanie Sama Loyda. – Francuskie zadanie z XVII w. – równania diofantyczne pierwszego stopnia z dwiema Matematyki nr 2– Opowiadanie z dalekiej Północy – zadanie tekstowe związane z ruchem, rozwiązywane za pomocą równania. – Zdumiewający „dowód”. Zadanie-sofizmat, czyli rozumowanie mające wszelkie pozory poprawności, przy jednocześnie bardzo dyskretnie ukrytym błędzie, który w konsekwencji doprowadza rozumowanie do absurdu. – Ciekawe zadanie na lekcję w szkole – zespół kryptarytmów tworzących niepowtarzalną łamigłówkę matematyczną. – Najtrudniejsza zagadka wszech czasów. Łamigłówka logiczna ukazująca, jak niezwykle skuteczne może być rozumowanie logiczne, gdy prowadzone jest ze wszystkimi wymogami ścisłości i precyzji, które obowiązują w Matematyki nr 3– Obserwatorzy. Diagramowa łamigłówka logiczna. Tego rodzaju łamigłówki są bardzo popularne w Japonii i na Zachodzie. – Master Mind. Nietrudna i przyjemna łamigłówka logiczna, którą mogą z powodzeniem rozwiązywać nawet uczniowie z czwartej klasy szkoły podstawowej. – Kryptarytm dla najtęższych głów. Rozwiązanie tego zadania wymaga przeprowadzenia bardzo precyzyjnego, złożonego i forsownego rozumowania logicznego, które w wysokim stopniu rozwija umiejętności intelektualne. – Matematycy – kochani lub znienawidzeni. Zadanie, które pokazuje jak na podstawie bardzo skąpych informacji można wyciągnąć bardzo głębokie i daleko sięgające wnioski. – Logika przymusu. Ukazuje zdumiewające korzyści płynące ze znajomości Matematyki nr 4– Zaskakujący rezultat. Zadania o rozwiązaniu negatywnym. – Rozkład na czynniki pierwsze. Rozkład na czynniki pierwsze w formie kryptarytmu. – Ogromna liczba złożona. Rozwiązanie bardzo trudnego zadania olimpijskiego. – Obrazki logiczne. Rozwiązywanie obrazków logicznych rozwija umiejętności poprawnego, precyzyjnego, ścisłego i logicznego rozumowania oraz wyrabia predyspozycje psychiczne: dyscyplinę umysłową, systematyczność i wytrwałość. – Jeszcze cztery rozwiązania. Cztery błyskotliwe rozwiązania zadania tekstowego z drugiego numeru naszego czasopisma – Zadanie Howarda Grossmana z Nowego Jorku. Zadanie rozwijające „wyobraźnię kinetyczną”.Świat Matematyki nr 5– Anegdota profesora Novosada. Podczas sprawdzania kompetencji wykładowców matematyki na najlepszym brazylijskim uniwersytecie w Săo Paulo, który w rankingu 500 najlepszych uniwersytetów na świecie zajmuje bardzo wysoką, bo 144. pozycję, zadanie „Profesor Novosad opowiada” rozwiązało samodzielnie zaledwie dwóch profesorów. – Wojna futbolowa. Wcześniej na świecie pojawiło się tylko jedno zadanie tego typu. – Zakochani są wśród nas... Zadanie rozwiązywane za pomocą grafu. – Amerykańskie rozwiązanie. W artykule tym znajduje się zadanie tekstowe rozwiązywane za pomocą równania drugiego stopnia. Prezentowany tutaj sposób rozwiązania równania drugiego stopnia jest całkowicie odmienny od stosowanego w Polsce. Mianowicie amerykańskim sposobem równania drugiego stopnia mogą już rozwiązywać nawet dzieci 11-letnie, natomiast metodą używaną w Polsce dopiero uczniowie 16-17-letni. Jak widać – różnica jest Matematyki nr 6– Algebrafy – fascynujące łamigłówki. Algebrafy zaliczane są do łamigłówek matematycznych, czyli do takich zadań logicznych, gdzie oprócz umiejętności logicznego myślenia potrzebna jest również pewna wiedza matematyczna. Kiedyś w prasie bardzo popularne, obecnie pojawiają się niezwykle rzadko, gdyż są trudne do ułożenia. – Perełka matematyki – zadanie z XVI wieku. Trudne zadanie tekstowe, do którego rozwiązania niezbędne jest posłużenie się równaniem diofantycznym pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. W polskojęzycznej literaturze matematycznej niemal niespotykane. – Mr Hopkins. Łamigłówka logiczno-matematyczna wymagająca posłużenia się wyjątkowo wnikliwym rozumowaniem. – Zbieranie żołędzi. Zadanie tekstowe będące zarazem łamigłówką logiczną. – Arabskie zadanie. Zadanie logiczne, do którego rozwiązania konieczne jest bardzo finezyjne Matematyki nr 7– „Summa de arithmetica” z 1494 roku. Zawiera zabawne, a zarazem podchwytliwe zadanie tekstowe, które zostało po raz pierwszy opublikowane w 1494 roku w książce autorstwa Luci Pacioliego pod tytułem „Summa de arithmetica”. – Długie sumy. Artykuł poświęcony zagadnieniom dotyczącym szybkiego obliczania bardzo długich sum, która to umiejętność jest powodem niekłamanego podziwu, jak również zazdrości ze strony innych uczniów, a nierzadko i samych nauczycieli matematyki. – Średniowieczna „olimpiada matematyczna”. W artykule tym przedstawiamy wielką rzadkość – bardzo trudne zadanie algebraiczne zostało rozwiązane metodą geometryczną charakterystyczną dla średniowiecza, którą są w stanie zrozumieć nawet uczniowie szóstej klasy szkoły podstawowej. – Lokomotywa i dwa wagony. Zadanie zawarte w tym artykule. bardzo rozwija tak zwaną. wyobraźnię kinetyczną. – Nauka programowania od podstaw. GRAFIKA ŻÓŁWIA – najłatwiejsza do opanowania warstwa języka Matematyki nr 8– Tajemnica Gwiazdy Betlejemskiej. Artykuł streszczający wyniki długich i żmudnych badań naukowych wyjaśniających tajemnicę Gwiazdy Betlejemskiej i bardzo dokładnie określających datę narodzin Jezusa Chrystusa. – Rozumowanie rekurencyjne. Nieobecna w szkole, ale niezwykle skuteczna metoda rozwiązywania niektórych zadań olimpijskich. – Najniższy koszt budowy ogrodzenia. Artykuł poświęcony zadaniu tekstowemu, z gatunku niesłychanie rzadko spotykanych w szkole, rozwiązanego poprzez... znalezienie najmniejszej wartości pewnej funkcji. – Obrazki bardziej logiczne. Diagramowa łamigłówka logiczna, będąca odmianą klasycznych obrazków logicznych. – Kongruencje. Nieznana w szkole, niezwykle skuteczna metoda pozwalająca rozwiązywać nietypowe, bardzo rzadkie zadania, które często pojawiają się na konkursach i olimpiadach Matematyki nr 9– Kto z kim tańczył, a kto z kim chodził? Artykuł prezentujący zadanie, które pozwala łatwo nauczyć nawet dzieci dziesięcioletnie bardzo ważnego w matematyce rozumowania określanego jako wnioskowanie z przypuszczenia i dowodzenie przez sprowadzenie do niedorzeczności. – Łamigłówka z I wieku i gra w marynarza. Artykuł poświęcony rozumowaniu rekurencyjnemu. – Rzadkie zadanie tekstowe. Artykuł poświęcony zadaniu, w którego tekście jedna z danych występuje w zaokrągleniu. – „Liber abbaci” z 1202 roku. Artykuł opisujący ciekawą sztuczkę. matematyczną, którą wymyślił słynny Fibonacci. – Labirynty. Labirynty interesowały ludzi już w czasach antycznych. Obecnie zyskały wymiar edukacyjny. Temu jest właśnie poświęcony artykuł. – Nauka programowania od podstaw. ZADANIE POSADZKA, PĘTLA WARUNKOWA, NWD RAZ JESZCZE – język Matematyki nr 10– Ola i Maciek. Artykuł poświęcony jest zadaniu tekstowemu, rozwiązywanemu się za pomocą równania pierwszego stopnia. – Napad w miejscowości Ayna. Artykuł zawiera zadanie tekstowe rozwiązane za pomocą równania diofantycznego oraz krótkie streszczenie historii równań nieoznaczonych pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. – Jakie liczby są na kapeluszach? Artykuł zawiera nadzwyczaj ciekawe zadanie logiczne, a poprzedza je bardzo wnikliwy wstęp dotyczący negatywnych skutków „mechanicznego” nauczania matematyki w szkole.– Czy jest liczba...? Artykuł zawiera dwa kryptarytmy, których nie sposób znaleźć gdzie indziej, oraz bardzo precyzyjny i ścisły dowód na to, że każda liczba naturalna ma dokładnie jeden rozkład na czynniki pierwsze. – Liczby niewymierne. Artykuł zawiera krótki opis historii odkrycia liczb niewymiernych oraz wyjaśnia, w jaki sposób ściśle i precyzyjnie dowieść, że dana liczba jest niewymierna. – Nauka programowania od podstaw. WIRUJĄCE KWADRATY, PŁATEK ŚNIEGU KOCHA, LICZBY Matematyki nr 11– Przeprawy. Artykuł poświęcony zadaniom o dużym historycznym znaczeniu. – Horror. Artykuł omawia niespotykane w polskiej literaturze matematycznej zadania rozwiązywane za pomocą rozumowań zawężających, których umiejętność przeprowadzania zawsze budzi zazdrość u innych ludzi. Natomiast sam artykuł zawiera zadanie logiczne, do którego rozwiązania trzeba posłużyć się bardzo forsownym, wieloetapowym rozumowaniem. – Chińska łamigłówka. Artykuł poświęcony „zegarowemu” zadaniu tekstowemu. – Taktyka podwójnych pytań. Artykuł dotyczy pewnej metody rozwiązywania zadań logicznych o zadziwiających właściwościach. – Nauka programowania od podstaw. PODSTAWOWE POLECENIA, PALINDROMY. Świat Matematyki nr 12 – Małpka. Artykuł poświęcony niezwykle interesującemu zadaniu tekstowemu, które pojawiło się w finale krajowym Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych. – Dolores, Juana, Ana i Maria. Artykuł dotyczy zadania logicznego o bardzo dużych walorach edukacyjnych. – Przed Świętem Zmarłych. Artykuł omawia zagadnienie myślenia lateralnego. – Zegar o trzech identycznych wskazówkach. Artykuł poświęcony „zegarowej” łamigłówce logicznej. – Kłótnia w trakcie obrad... – uzupełnienie rozwiązania. O pewnej nierówności. – Jeszcze dwa rozwiązania: Maciek i Ola. Dwa dalsze rozwiązania zadania, które ukazało się w dziesiątym numerze „Świata Matematyki”. – Nauka programowania od podstaw. W kolejnej części kontynuujemy problematykę przetwarzania struktur danych. ŁĄCZENIE PUNKTÓW, WIELOKĄT FOREMNY Z PRZEKĄTNYMI. Świat Matematyki nr 13 – Sieci przepływowe. Artykuł poświęcony rozwiązywaniu pewnego typu zadań na optymalizację z wykorzystaniem grafów. – Niezwykłe ułamki zwykłe. Artykuł zawierający niezwykle trudne do ułożenia zadanie tekstowe, którego tematyka dotyczy ułamków zwykłych. – Krótka historia sudoku. Artykuł omawia historię pięciu łamigłówek, które w swoim czasie podbiły cały świat. – Iwan Fiodorow. Artykuł poświęcony „zegarowemu" zadaniu tekstowemu rozwiązanemu za pomocą równania drugiego stopnia. – Nauka programowania od podstaw. Programowanie zdarzeniowe (reakcja na zachodzące zdarzenia) i problematyka dotycząca przetwarzania struktur danych – lista punktów. REAKCJA NA ZDARZENIA, ŁĄCZENIE PUNKTÓW RAZ JESZCZE, PROJEKTOWANIE WAZONU. Świat Matematyki nr 14– Oszczędności uczniów. Zadanie tekstowe rozwiązane za pomocą układu 20 nierówności aż z dziesięcioma niewiadomymi. Zadanie to jest połączeniem zadania tekstowego i łamigłówki logicznej. – Ostatnie cyfry ogromnych liczb. Znalezienie za pomocą kongruencji czterech ostatnich cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby, której rozwinięcie dziesiętne ma znacznie ponad pół miliona cyfr. – Pisemne obliczanie pierwiastków. Obliczanie pierwiastków dowolnych stopni sposobem pisemnym. – Zegar-antyk z ciężarkami. „Zegarowe" zadanie tekstowe rozwiązane za pomocą układu dwóch nierówności drugiego stopnia. – Swaty. Diagramowa łamigłówka logiczna. – Nauka programowania od podstaw. Podstawowe pojęcia związane z programowaniem obiektowym oraz poznanie pojęcie procesu. POSTAĆ ŻÓŁWIA, WŁASNA KLASA ŻÓŁWI, TWORZYMY PROJEKT – FRUWAJĄCE Matematyki nr 15 – Dwa światy. Interesujące biogramy prawdziwych gwiazd matematycznych. – Kryptarytm z pierwiastkowaniem. Kryptarytm ułożony w oparciu o algorytm wyciągania pierwiastka sposobem pisemnym. – Misjonarze i kanibale. Dwuczęściowe zadanie o tematyce przeprawowej. Pierwsza część rozwiązana metodą klasyczną, charakterystyczną dla zadań przeprawowych, a druga, z rozwiązaniem negatywnym, w oparciu o teorię grafów. – Twierdzenie Talesa. Dowód twierdzenia Talesa podobny do tego, jaki znajduje się w księdze VI „Elementów” Euklidesa. – Zegarmistrz majster-klepka. „Zegarowe" zadanie tekstowe rozwiązane za pomocą układu dwóch nierówności drugiego stopnia. – Jeszcze raz o pierwiastkowaniu sposobem pisemnym. Jeszcze jeden sposób wyciągania pierwiastka drugiego stopnia sposobem pisemnym. – Mityng. Zadziwiająca łamigłówka logiczna. – Nauka programowania od podstaw. Pogłębiamy poznaną wiedzę, definiujemy także własną klasę, ale niezwiązaną z żółwiami: DATA I CZAS, DEFINIUJEMY KLASĘ STOPER, TWORZYMY PROJEKT TESTUJĄCY STOPER. Świat Matematyki nr 16 – Naj, najciekawsze zadanie „zegarowe". Artykuł zawiera niespotykane „zegarowe" zadanie tekstowe, bo rozwiązane za pomocą… równań nieoznaczonych pierwszego stopnia. Mówiąc szczerze, w literaturze popularyzującej matematykę dotychczas nie spotkałem się z tego typu zadaniem. – Całkowanie dla maluchów. Artykuł zawiera najłatwiejszą do zrozumienia metodę całkowania, przystępną nawet dla uczniów ze szkół podstawowych, a wywodzącą się ze starożytności. Świat Matematyki nr 17 – Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania. W artykule mieści się pełny dowód twierdzenia Pitagorasa i sześć zadań ilustrujących jego wykorzystanie. – Liczba Pi. Geometryczny sposób znajdowania przybliżonej wartości liczby Pi. Geometryczne metody szacowania liczby Pi były jedynymi sposobami znajdowania przybliżonej wartości tej liczby aż do XVII wieku. – Trzy rozwiązania jednego zadania. Rozwiązania zadania konkursowego „O 50% większa” nadesłane przez naszych Czytelników. – Nauka programowania od podstaw. PRZYGOTOWUJEMY STRONĘ PROJEKTU. Świat Matematyki nr 18 – Pole koła i długość okręgu. Wyprowadzanie wzorów z wykorzystaniem jednokładności i własności okręgu o promieniu jednostkowym. – Walce i stożki. Wyprowadzamy wzory na pola i objętości różnych brył obrotowych, także ściętych. – Hashi. Jak rozwiązać nietypowe hashi z wyspami nieoznaczonymi. – Cztery zegary. Trudny czas na obliczenia przez przyszłych olimpijczyków. – Konkurs POLLOGIA. ZADANIE – DODAWANIE LITER. Świat Matematyki nr 19 – Objętość kuli. Całkowanie dla maluchów (część 2). Wyprowadzenie wzoru na objętość kuli metodą całkowania stosowaną w starożytności i średniowieczu. Zrozumiałe nawet dla uczniów szóstych klas szkół podstawowych. – Zabawa na ruchomych schodach. Zadanie tekstowe rozwiązane za pomocą układu dwóch równań stopnia wyższego niż pierwszy. – Zegary i złoty podział. Dwa zadania „zegarowe" ułożone i rozwiązane przez naszego Czytelnika. – Laboratorium matematyczne. Nowy cykl artykułów. Zaczynamy od funkcji! – Finał konkursu POLLOGIA. ZADANIE – SYSTEMY LICZBOWE. Świat Matematyki nr 20 – Pole sfery. Całkowanie dla maluchów (część 3). Wyprowadzenie wzoru na powierzchnię kuli. W następnym numerze zamieścimy zadanie łączące w sobie zagadnienia związane z polem sfery, objętością kuli oraz objętością stożka. Potrzebne będą również rzadkie dzisiaj umiejętności: wyciągania pierwiastków trzeciego stopnia, szacowania, a także zaokrąglania ułamków dziesiętnych. – GRAND PRIX. Rozwiązanie zadania pokazuje, jak proste obliczenia mogą stać się bardzo silnym i skutecznym narzędziem umożliwiającym przeprowadzenie wysokowydajnego procesu dedukcyjnego. – Radzieckie zadanie. Matematyczna historia. Artykuł przedstawia przykładowe zadanie z pierwszych dekad istnienia komunizmu w Rosji. – Laboratorium matematyczne. Badanie funkcji komputerem. Rozpoczynamy od funkcji liniowej. – Programowanie od podstaw. POSTAĆ ŻÓŁWIA KODEM Matematyki nr 21 – Wieże. Artykuł poświęcony jest diagramowej łamigłówce logicznej ukazanej… aż w trzech różnych wersjach. Rozumowania logiczne, których przeprowadzenie jest niezbędne do rozwiązania łamigłówek, cechuje wiele wspólnego a jednocześnie… sporo je różni. – Zadanie konkursowe „Dopłata”. Artykuł poświęcony zadziwiającemu zadaniu tekstowemu. – Powrót kuli. Artykuł poświęcony zadaniu, którego rozwiązanie integruje aż siedem zagadnień matematycznych, między innymi wyciąganie pierwiastków trzeciego stopnia sposobem pisemnym. – Laboratorium matematyczne. Wykres funkcji kwadratowej. Badanie własności funkcji kwadratowej. Sprowadzanie postaci ogólnej funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej. – Programowanie od podstaw. KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA. Świat Matematyki nr 22 – Zadziwiający pomysł. Blok trzech nadzwyczaj trudnych zadań, których rozwiązania – dzięki genialnemu pomysłowi naszego stałego Czytelnika – stały się bardzo łatwe. – Które schody wybrać? Wnikliwa analiza czasu w odniesieniu do ruchomych i nieruchomych schodów. Do jakich sensacyjnych wniosków dochodzimy? Tego dowiecie się z lektury artykułu, do czego gorąco Was zachęcam. – Objętość figury nieznanej. Metodą całkowania starożytnych poszukujemy wzoru na objętość figury… nieznanej ze szkoły. Zdumiewającym wzorem na pewno zadziwicie swoich nauczycieli matematyki. – Laboratorium matematyczne. Pojęcie funkcji homograficznej i jej wykres, badanie własności hiperboli. – Programowanie od podstaw. DEFINIUJEMY KLASY ODCINKÓW. Świat Matematyki nr 23 – Gry – część pierwsza. Artykuł poświęcony jest grom. Strategie wygrywające tworzy się w oparciu o opracowaną wcześniej partycję grową, czyli metoda jak pokonać Las Vegas. – Pan Szczukiewicz i jego cztery córki. Artykuł dotyczy zadania, w którego tekście aż siedem razy występują procenty. – Laboratorium matematyczne. Pojęcie funkcji wykładniczej oraz funkcji do niej odwrotnej, czyli funkcji logarytmicznej. – Przydatne oprogramowanie. Euler Math Toolbox, czyli jak liczyć szybciej. Świat Matematyki nr 24 – Gry – część druga. W obecnie rozważanych grach znalezienie strategii wygrywających jest bezsprzecznie o wiele, wiele trudniejsze niż dla gier rozpatrywanych w poprzednim numerze. – Na ogierze i na klaczy. Artykuł poświęcony zadaniu tekstowemu, będące sporym wyzwaniem również dla uczniów z klas starszych. – Laboratorium matematyczne. Ciągi liczbowe i ich własności – część I. Kąty i ich mierzenie. – Nauka programowania od podstaw. ZADANIE LUCASA, TWORZYMY OBRAZ i DEFINIUJEMY KLASĘ PIONKÓW, URUCHAMIAMY GRĘ, DALSZE UDOSKONALENIA. Świat Matematyki nr 25 – Ile mają lat? Blok czterech zadań tekstowych, w których – tego jeszcze nigdy nie było – nie wszystkie warunki zadania są podane. Aby te utajnione warunki wykryć, należy przeprowadzić specjalne śledztwo. Znajdziecie tu także... najbardziej zawikłane zadanie tekstowe wszech czasów. – GRY – część trzecia. Artykuł opisuje strategię, która zapewnia zwycięstwo w pewnej grze. – Laboratorium matematyczne. Ciągi liczbowe i ich własności – część II. Funkcje trygonometryczne – część I. – Nauka programowania od podstaw. GRA W 15. Świat Matematyki nr 26 – Niemożliwe staje się możliwe. Kolejne zadania o tematyce growej. Tym razem, na podstawie wygranej, śledzimy przebieg rozgrywki w Las Vegas. – Cecha i mantysa. Te dwa pojęcia były kiedyś w powszechnym użyciu – dzisiaj się o nich zapomina. Wracamy do źródeł. – Rozwiązania wielomianów. Wielomiany w matematyce są jak zdania w literaturze – należy je tylko zrozumieć. – Jeszcze jedno rozwiązanie. Każde zadanie można rozwiązać na wiele sposobów – wiele rozwiązań jednego problemu znakomicie uczy. – Kozy na pastwiskach. Rozwiązanie zadania konkursowego. – Laboratorium matematyczne. Funkcje trygonometryczne – część II. Świat Matematyki nr 27 – Bardzo dłuuugie liczby. Potęgujemy, mnożymy, dodajemy, odejmujemy, a nawet... wyciągamy pierwiastki z liczb składających się z ogromnej ilości cyfr – przekonaj się, jak to jest możliwe. – Niemożliwe staje się możliwe. Po raz drugi przedstawiamy prosty sposób na wyznaczenie porządku gry w kasynie. – Olimpiada matematyczna. Pełne rozwiązania wybranych zadań z tegorocznej Olimpiady Gimnazjalistów. – Laboratorium matematyczne. Funkcje trygonometryczne – część III. – Nauka programowania od podstaw. Implementacja w języku LOGO. popularnej zabawy – gry w pamięć. Świat Matematyki nr 28 – Buczacza do Czortkowa – bez rachunków. Rozwiązanie zadania, które nie wymaga przeprowadzenia rachunków. – Leniwa przekupka. Co robić, by na wspólnej pracy nie tracić? – Jeszcze o radzieckim zadaniu. Kolejne rozwiązanie zadania „W drodze do fabryki" przeprowadzone bez żadnych rachunków. – Algebra przedszkolaka. Rozpoczynamy nowy cykl artykułów. Na początek „rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą” przy użyciu... wagi! – Rozkład na sumę. Po raz kolejny pokazujemy, jak zrobić rzeczy niemożliwe. Tym razem dowolną liczbę przedstawimy jako sumę kolejnych liczb. – Trudne zadania dla każdego. z poprzedniego numeru „Świata Matematyki" O odejmowaniu długich liczb, sumy długich liczb, potęgowanie, szczęśliwe zakończenie. – Olimpiada matematyczna. Rozwiązujemy, w prosty sposób, zadania dla olimpijczyków. – Nauka programowania od podstaw. Implementacja w języku LOGO gry zręcznościowej. Świat Matematyki nr 29 – Metoda Jeana Meeusa. Matematyczne aspekty astronomii. – Magia matematyki. Poznaj kwadraty magiczne istniejące już od tysięcy lat – magia staje się łatwiejsza. – Egzamin szóstoklasisty. Przekonaj się, że rozwiązanie zadań egzaminacyjnych jest banalnie proste. – Matura na pięć. Pięć łatwych sposobów rozwiązania zadań maturalnych z matematyki. – Podróż bez granic. Jak przeliczyć szaloną podróż w Tatry. – Ostatnia będzie pierwszą. Kolejne rozwiązanie zadania konkursowego. – Rozkłady liczb. Przedstawienie liczby jako sumy kolejnych liczb może rodzić problemy – przedstawiamy proste rozwiązanie zadania. – Algebra przedszkolaka. Rozwiązywanie układu równań za pomocą macierzy. – Nauka programowania od podstaw. Dzisiaj prezentujemy implementację gry „w wisielca”. Świat Matematyki nr 30 – Wspólny ogród zoologiczny. Matematycy tworzą ogród zoologiczny, korzystając z najmniejszej wielokrotności. – Poszukiwania liczby. Czy można wyznaczyć liczbę naturalną, jeżeli znamy tylko reszty z jej dzielenia? – Olimpijskie twierdzenie. Pomysłowe rozwiązania na finał. – Palindromy... na słowach i datach – także przyszłości. – Zważone rozwiązanie. Obiekty na nieskończenie długich ramionach zrównoważone setką ciężarków. – Wielkanoc za tysiąc lat. Rozwiązanie zadania konkursowego w kalendarzu gregoriańskim. – Kalendarz juliański. Posiadamy dwa kalendarze – jeden z cesarstwa rzymskiego. Trwają przez cały rok, ale dni są różne. – Szalona jazda na rowerze. Czy da się dogonić stracony czas? – Algebra przedszkolaka. Każdy może rozwiązać takie samo zadanie. – Nauka programowania od podstaw. Komputer na Wielkanoc – zadanie Matematyki nr 31 – Gra żetonami. Jak należy grać, żeby zawsze wygrać. – Szkoły językowe. Aby zrozumieć osoby z innych krajów, uczymy się angielskiego, niemieckiego czy włoskiego. Do zrozumienia zadania potrzebna jest znajomość języka matematyki. – Wielościany Platona. Wchodzimy do trzeciego wymiaru. – Geometria analityczna. Rozpoczynamy zagadnienia działu matematyki, znajdującego się na pograniczu geometrii i algebry. – Nauka programowania od podstaw. Stara gra chińska w zbieranie kamieni, znana pod nazwą NIM. Świat Matematyki nr 32– Czwarty wymiar. Od nicieni i płaszczaków przechodzimy do czwartego wymiaru. – Egipskie ułamki. Egipcjanie korzystali z kalendarza, i związanej z nim arytmetyki, już około 4800 lat Do zamiany ułamków zwykłych na sumę ułamków o liczniku równym jeden stosowali ciąg Fibonacciego! – Jadą czołgi... Wspólne działanie zawsze prowadzi do zwycięstwa. – Geometria stołu bilardowego. Czy wirtuozi kija bilardowego posługują się geometrią? – GEOMETRIA ANALITYCZNA (II). Wyższy „stopień wtajemniczenia” matematycznego. Proste w układzie współrzędnych. Świat Matematyki nr 33 – Poszukiwania ciągu. W znalezieniu ogromnego ciągu liczb złożonych pomaga znajomość liczb pierwszych i silnia. – Dla kogo szóstkę? Pełne rozwiązanie zadania konkursowego zamieszczonego w 32. numerze „Świata Matematyki". Dziękujemy czytelnikom za nadesłane odpowiedzi. – Ucieczka z peletonu. Sytuacje opisane w trzech zadaniach są pozornie bardzo podobne, ale wyniki rozwiązań mogą być kompletnie różne. – Procentowe niespodzianki. Zadania dotyczące procentów często goszczą na klasówkach. Warto do nich zajrzeć. – GEOMETRIA ANALITYCZNA (III). Greckie budowle kołem się toczą. – Nauka programowania od podstaw. Strategia wygrywająca dla komputera w chińskiej grze znanej pod nazwą NIM. Świat Matematyki nr 34– Doświadczenia na wakacje. Piasek na plaży jest doskonałym narzędziem do przeprowadzania eksperymentów. – Bankowe procenty. Pieniądz stał się żywym materiałem, który może wzrastać lub jego posiadanie kosztuje. – Platformy wiertnicze. Zapowiedź poszukiwania punktów Steinera stanowiących podstawę logistyki. – Elementy kombinatoryki. Reguła iloczynu, permutacje bez powtórzeń. – Wielokrotne silnie. Zwiększamy liczbę wykrzykników. – GEOMETRIA ANALITYCZNA (IV). Co w sobie kryje definicja pojęcia wektora? Zapraszamy do gry w kolarzy na... wektorach. – Nauka programowania od podstaw. Rozwiązanie zadania „Pięć siódemek ujawnionych". Świat Matematyki nr 35– Celujące pudełko. Prezentujemy kolejną zagadkę logiczną typu „najtrudniejsza zagadka wszechczasów". – Proste zagadnienia kombinatoryki. Droga do prostego rozwiązania zadań z rachunku prawdopodobieństwa za pomocą permutacji z powtórzeniami i kombinacji bez powtórzeń. – Jasna trygonometria. Wyprowadzamy przydatne wzory pomocne w rozwiązywaniu zadań trygonometrii. – GEOMETRI A ANALITYCZNA (V). Przy pomocy wektorów wyznaczamy proste w przestrzeniach dowolnych wymiarów i poznajemy jednokładność. – Wektory 3D. Rozwiązanie zadań z poprzedniego wydania „Świata Matematyki", pomocne w zrozumieniu teksu o geometrii analitycznej. – NIE MA SZCZĘŚCIA, JEST TYLKO MATEMATYKA. Rozwiązanie zadania konkursowego zamieszczonego w 34. numerze „Świata Matematyki". Świat Matematyki nr 36– Bieg po zwycięstwo. Jak oznakować trasę wyścigu, by dobiec do celu? – Magiczne trójkątne łamane. Zadanie współtwórcy Olimpiady Matematycznej, Autora Roku „Matematyki” w 2007 r. – Tworzymy stopy. Ile jest składników stopu podczas mieszania? – Okruchy geometrii. Przygotowania do rozwiązywania trójkątów. – Rozwiązywanie trójkątów. Żaden trójkąt nie stanowi problemu. – Trzecia droga. Rozwiązanie zadania z próbnej matury (poziom rozszerzony) na pięć linijek. – Zdolny jasnowidz. Zostań tajemniczym jasnowidzem, który odpowiada na wiele zagadek i żongluje zadaniami niemożliwymi do rozwiązania. – Na długie zimowe wieczory. Przykłady gier logicznych bez rekwizytów. – Zagadki na ferie. Ciekawe, zaskakujące, często sprawiające wrażenie niedorzecznych. Świat Matematyki nr 37– Logika myślenia. Jakie możliwości daje logiczne myślenie? Czym są zadania logiczne? – Ciągłe ułamki. W literaturze niewiele można znaleźć na temat ułamków ciągłych, które są pomocne przy znajdowaniu przybliżeń liczb niewymiernych. Czym kierowali się reformatorzy kalendarzy i jak wyznaczać wartości pierwiastków? – Olimpiada matematyczna. Proste rozwiązanie zadania olimpijskiego. – Zadanie na trzy sposoby. Wskazówki do zwięzłego zapisu wszystkich rozwiązań równania trygonometrycznego na przykładzie zadania z matury. – Graficzne rozwiązania. Jak można rozwiązać równanie trygonometryczne? – Droga dla prostokąta. Wracamy do punktów Steinera. – Systemy liczenia. Wykonanie zadania zależy od wyboru systemu liczenia. – Zadanie na parkiet. Pokrycie płaszczyzny wielokątami foremnymi. Świat Matematyki nr 38– Trzy bramki. W teleturniejach często wyciągamy zbyt pochopne wnioski. Paradoks Monty’ego Halla w rachunku prawdopodobieństwa. – Czekolady. Każde zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. Zależą one tylko od naszej fantazji. – Wariacje bez powtórzeń. Prosta kombinatoryka może być bardzo przydatna gimnazjalistom czy licealistom. – Zabawa na dziewięć. Sudoku bardzo rozwija umiejętność logicznego myślenia i poprawnego wyciągania wniosków. – Trudne stopy. Powracamy do stopów metali, lecz tym razem będziemy stapiać dwa stopy. – Część całkowita. Ciekawe zagadnienia dotyczące części całkowitej wyrażeń algebraicznych. – Nauka programowania od podstaw. Symulacja gry do sprawdzenia paradoksu Monty’ego Halla. Świat Matematyki nr 39– Legendy wszech czasów. Jak w każdej legendzie jest w nich trochę fantazji i trochę prawdy, którą dowodzimy, stosując prawa matematyki. – Budowa oczka. Zanurzmy się w chłodnej geometrii, gdzie będą pływać spokojne równania z wykładnikami na grzbiecie. – Wariacje z powtórzeniami. Proponujemy wariacje z powtórzeniami, które mogą chronić przed powtarzaniem egzaminów. – Łyki statystyki. Każdy już stał lub w niedalekiej przyszłości stanie przed koniecznością dokonania ważnego wyboru. – Wielka gra. Mistrzostwa Europy już za nami, lecz dlaczego w grupie były tylko cztery drużyny i jak wyznaczać wyniki spotkań? Świat Matematyki nr 40– Bajka o smoku. Czy dowód w matematyce może być bajką? W bajkach z matematyki wszystko jest prawdziwe! – Ukryte liczby. W prosty sposób wyznaczamy brakujące elementy stucyfrowych liczb. – Ciekawe cechy. Dla kreatywnych Czytelników czasopisma omawiamy ciekawe cechy podzielności. – Indukcja matematyczna. Jak przeprowadzić dowód pewnych zależności liczb naturalnych? To proste! – Dowód na ciągu. Przeprowadzamy dowody, stosując indukcję matematyczną, dla wyrazów ciągu Fibonacciego. – Wakacyjne pociągi. Po powrocie z wakacji proponujemy zmierzyć się z problemami z pogranicza matematyki i fizyki, które można spotkać na egzaminie. – Komputer na planszy. Dzisiejsze komputery liczą w systemie dwójkowym. Do podobnych celów może służyć plansza szachownicy sprzed ponad tysiąca lat. – Tworzenie przez logikę. Obrazki logiczne kryją zaszyfrowany rysunek. Pokażemy, jak można go odkryć. Świat Matematyki nr 41– Paradoks urodzin. Rozumowanie pozornie oczywiste, jednak na skutek zawartego w nim błędu, prowadzi do sprzecznych wniosków. Dowody na sumy. Przeprowadzamy dowody, w których korzystamy z sumy cyfr liczb naturalnych. – Liczba z Chin. Ciekawy sposób wyznaczenia liczby Pi na podstawie algorytmu z III wieku, opracowanego przez Liu Hui. – Jak daleko widzimy? Rozważmy temat matematyczno-fizyczny: jak daleko sięga ludzki wzrok? – Prostopadłe wielokąty. Wieloboki o prostopadłych sąsiednich bokach, których liczba może być dowolna! – Prosta i okrąg. Równanie stycznej do okręgu w układzie współrzędnych. – Dowody na ciągach. Nowe wzory na sumę ciągu arytmetycznego. – Kwadratowe równości. Tworzymy sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych o takiej własności, że ta suma też jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. – Komputer na planszy (część 2). Powracamy do szachów. Tym razem mnożymy i dzielimy na szachownicy. Świat Matematyki nr 42– „Haidao suanjing". Praca matematyczna Liu Hui z Epoki Trzech Królestw. – Logika dla przedszkolaka. Problem przejścia przez pustynię Gobi do rozwiązania przez każdego. – Gry. Czy są gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe? Prezentujemy nadesłaną strategię gry w NIM. – Trójkątne zadania. Z twierdzeniem kosinusów, bez problemu, rozwiążesz zadania geometryczne. – Środkowe. Dla każdego matematyka rzeczy na ogół niemożliwe stają się oczywiste. – Szkice dowodów. Dowody twierdzeń dotyczących środkowych. – Sześciany kwadratem. Czy suma sześcianów kolejnych liczb może być kwadratem liczby? – Komputer na planszy (część 3). Tym razem potęgujemy i pierwiastkujemy na szachownicy. – Rozwiązania zadań konkursowych. Równowaga i Fibonacci w ułamku. – Od matematyki do informatyki, czyli o rysowaniu figur geometrycznych. Algorytmy, opublikowane przez J. E. Bresenhama w IBM System Journal Świat Matematyki nr 43– Rozwiązania bez delty. Jak równania kwadratowe rozwiązywano w dawnej Persji już w III wieku. – Matematyczne złoto. Szukamy, pochodzących od Pitagorejczyków, złotej liczby i złotego podziału. – Trójkąty pitagorejskie. Poznaj greckie tajemnice. – Okrąg w czworokąt. Czy w każdy czworokąt można wpisać okrąg? – Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą – to proste! – Po chińsku na pałeczkach. Wyznaczamy pierwiastki przy pomocy pałeczek. – Ułamki w systemie binarnym. Jak zapisać dowolny ułamek za pomocą zer i jedynek? – Nauka programowania. Kurs programowania JavaScript. – Wirujące figury. Wykorzystanie równań parametrycznych prostej i okręgu dla grafiki komputerowej, w środowisku programistycznym Akademii Khana. Świat Matematyki nr 44 – Zaskakujący wynik. Czy dodanie jednego metra do taśmy opasującej Ziemię niesie za sobą ogromne skutki? – Matematyczne złoto (2). Naśladując Pitagorejczyków, poszukujemy złotych odcinków i figur oraz tworzymy złoty prostokąt. – Geometria na okrągło. Ciekawe zagadnienia geometryczne w trójkącie. – Wielomiany inaczej. Wyznaczamy wielomiany na podstawie podanych wartości – także wartości elementów ciągu! – Operacje na pierwiastkach. Związek pierwiastków (wielomianu) z ich współczynnikami. – Własności dzielenia. W rozwiązaniach korzystamy z kongruencji. – Matematyka Grecji. Równania diofantyczne nie muszą być problemem. – Liczby trójkątne. Piramidy na kartce papieru. – Kreślenie pięciokąta. Czy pięciokąt foremny kreślony na papierze popularną metodą naprawdę jest foremny? – Długie liczby. Operacje na długich liczbach za pomocą jedynek. – Nauka programowania. Kurs programowania JavaScript (2). Świat Matematyki nr 45– Poszukiwania. Powakacyjna powtórka z liczenia, doprawiona nutą logicznego myślenia. – System dla monet. Poszukujemy fałszywej monety nawet w... systemie trójkowym – czemu nie! – Algebra komputera. Rachunek zdań – wstęp do algebry Boole’a. – Niemożliwe jest możliwe. Wyznaczanie powierzchni dowolnej figury geometrycznej bez użycia wzorów. – Bezwzględne kreślenie. Wykresy dla cierpliwych? – Czterech o pierwszych. Twierdzenia Euklidesa, Fermata, Wilsona i Dirichleta – to proste! – Trening po wakacjach. Dowodzenie nierówności – pomoc w powrocie do rzeczywistości. – Kwadraty. Zero-jedynkowe kwadraty liczb naturalnych. – Obroty brył w przestrzeni. Obroty sześcianu w przestrzeni trójwymiarowej w środowisku programistycznym Akademii Khana. Świat Matematyki nr 46 – Algebraiczna struktura wektorów. Ponownie o wektorach – tym razem bez rachunków. – Sprzężenia liczb. Początek przejścia z liczb rzeczywistych do zespolonych. – Algebra Boole’a. Algebra George'a Boole’a dla zadań logicznych. – Egipt pierwszy. Algorytm Fibbonaciego dla ułamków prostych. – Trzeci stopień. Wyjście poza zbiór liczb rzeczywistych. – Szukamy kwadratów. Operacje na ciągach arytmetycznych. – Proste rozwiązania. Nierówność Bernoulliego – to dobre narzędzie. – Trudne zagadnienia? Z twierdzeniem Fermata podzielność nie stanowi problemu. – Obroty brył wypukłych w przestrzeni. Uzupełnienie programu o usuwanie krawędzi niewidocznych w środowisku programistycznym Akademii Khana. Świat Matematyki nr 47 – Niecodzienny wzór. Dokonania matematyków na początku nowej ery. – Trójkąty średnioboczne. Trójkąty egipski i indyjski to dopiero początek. – Kąt między prostymi. Pomocny jest w tym rachunek na wektorach. – Zadania Eulera. Poszukiwania wielościanów. – Nierówności w trójkącie. Czy istnieją gigantyczne figury? – Sumy ciągów. Podróż poza znane już ciągi. – Historia liczb zespolonych. Rozwiązania, które nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych. – Poza rzeczywistością. Pierwiastek z liczb ujemnych – to proste! – Geometria liczb zespolonych. Zbiór liczb na płaszczyźnie. – Trysekcja pewnych kątów. Prosty podział – na trzy! – Ułamki łańcuchowe. Szybkie wyznaczanie pierwiastków. – Zbiory Mandelbrota i Julii. Tworzymy fraktale w środowisku programistycznym Akademii Khana. Świat Matematyki nr 48 – Średnie matematyczne. Arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna i kwadratowa w interpretacji geometrycznej. – Konstrukcje geometryczne. Często rysunki geometryczne wykonywane są myszką na monitorze, a przecież można to robić na kartce za pomocą cyrkla i linijki. – Vabank. Kapitalizacja odsetek a stała Nepera. – Prawdopodobieństwo – wzór Bayesa. Prawdopodobieństwa warunkowe i całkowite prowadzą do wzoru Bayesa. – Losy zdarzeń. Prawdopodobieństwo zdarzeń dla sumy zbiorów. – Rozważania Mata. Przykłady rozumowania przy rozwiązywaniu zadań. – O sumie. Sumujemy dzielniki, także liczb doskonałych. – Wykładnicza nierzeczywistość. Operacje na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej. – Od Euklidesa do złotego podziału. Przedstawiamy interpretację geometryczną algorytmu Euklidesa za pomocą Processingu bazującego na języku Java. Świat Matematyki nr 49 – Kaustyki. Właściwości geometryczne obiektów poznajemy, nie tylko kreśląc je na papierze, ale także obserwując przyrodę i otaczający nas... świat matematyki. – Geometria zespolona. Poruszamy temat trudny, ale przedstawiony w sposób zrozumiały dla wszystkich Czytelników. „Znienawidzone” zadania staną się proste jak kreślenie linii na papierze. – Nietypowe równania. Ponieważ już niedługo wakacje, rozważmy równania, które wyłamują się szkolnym schematom. Ich rozwiązania wykroczą poza naszą wyobraźnię. – Równania wielomianowe. Równania wielomianowe! A co to takiego? Przedstawiamy zadania, w których szukamy wielomianów spełniających zadane równanie. – Prosta pochodna. Ostatnio coraz częściej poznawanie matematyki wspomagane jest kalkulatorem czy komputerem. Niektórzy jednak są wrogami ich stosowania w procesie poznania świata matematyki. – Nie tylko dla orłów. Nowy kącik „Świata Matematyki", w którym będziemy publikować zagadnienia o większym stopniu trudności. Na początek zapraszamy do lotu przez funkcje. Świat Matematyki nr 50 – Sprawiedliwy podział. Zaczynamy od rozważań profesora Hugona Steinhausa, matematyka Uniwersytetu Lwowskiego. – Sznurek w geometrii. Znów będziemy rysować. Tym razem tworzymy figury za pomocą... sznurka. – Suma kątów. Czy do wyznaczenia sumy kątów trzeba znać wzory trygonometryczne? Okazuje się, że nie. – Kryptarytm pierwiastka. Pisemne wyznaczanie wartości pierwiastka staje się bardzo pomocne w rozwiązaniu zadania. – Podróż przez świat M. Na wakacjach często podróżujemy przez kraje, gdzie tworzono historię matematyki. Proponujemy przyjrzeć się dawnym Indiom Bhaskary II, autora słynnego dzieła „Lilavati". – Wracamy do funkcji. W poprzednim numerze zamieściliśmy kilka artykułów na temat funkcji. Tym razem chcemy się skupić na ciągłości i własnościach funkcji. – Równania Pella. Rozwiązanie zagadki Sama Loyda o żołnierzach króla Harolda za pomocą równań Pella. – Nie tylko dla orłów (2). W czytelny sposób prezentujemy zagadnienia dotyczące ciągów liczbowych, korzystając z twierdzenia Dirichleta oraz z metody regresji. Przy rozwiązywaniu zadań skorzystamy także z ciągu Fibonacciego. Świat Matematyki nr 51– Reguła Guldina. Objętość i pole powierzchni nietypowych brył obrotowych. – Złoto srebra. Poszukujemy „matematycznego srebra”. Tytuł nie jest przypadkowy, gdyż wskazuje na analogie między „złotem” a „srebrem” w matematyce. Zapraszamy do poszukiwań. – O środkach symetrii. Czy istnieje figura, która ma dokładnie dwa środki symetrii? – Świat geometrii. Prezentujemy rozważania o jednokładności, a także dokonania Ptolemeusza. – Wyznaczanie wartości. Metoda angielskiego matematyka Brooka Taylora z użyciem pochodnych i wielomianów. – Nie tylko dla orłów (3). Dalej lecimy przez świat funkcji, lecz tym razem spójrzmy na ich punkty przecięcia. Poznamy twierdzenia Fermata, Rolle’a, Lagrange’a czy rachunku różniczkowego. Zapraszamy do podniebnej podróży. – Nauka programowania J avaScript (3). Organizacja kodu z wykorzystaniem zmiennych, stosowane rodzaje komentarzy, typy danych, operatorów, instrukcje warunkowe oraz podstawowe pętle. Świat Matematyki nr 52– Smoki fraktalne. Pochodzą z krainy fraktali, która jest papierowa lub... komputerowa. Zapraszamy do tworzenia smoków. – Punkt równowagi. Czy figury o tym samym kształcie mogą mieć różne punkty równowagi? Sprawdźcie to sami. – Niemożliwe sumy. Sumując liczby naturalne, można otrzymać liczbę ujemną. Ten paradoks znany był już Eulerowi. – Szkice w matematyce. Prezentujemy szkice funkcji homograficznych, nie zapominając o funkcjach wykładniczych i do nich przeciwnych – funkcjach logarytmicznych. – Nie tylko dla orłów (4). Nasze gniazda wypełniają układy równań – nawet szóstego stopnia. Znalezienie rozwiązania nie jest problemem. – Funkcje JavaScript. Omawiamy bardzo ważne zagadnienia, jakimi są funkcje w języku JavaScript. Znajomość ich stosowania pozwala na swobodne pisanie programu. Świat Matematyki nr 53– Literacki problem. Matematyczna dusza z powieści Christine Schutt prezentuje zadania w naszej rzeczywistości. – Rozważania o liczbach (1). Rozpoczynamy nowy cykl artykułów, w których poznamy elementy świata matematyki. – Różne spojrzenia. Świat matematyki istnieje wokół nas. Wszyscy na niego spoglądamy, lecz nie wszyscy widzimy to samo. Rozwiążmy zagadnienia poza schematem. – Śledztwo inspektora Billa. Rozwiązywanie zadań logicznych nie jest trudne. Wystarczy mieć na to sposób, który przedstawiamy. – Sześcian w kuli. Niewielu z nas, poznając stereometrię, zdaje sobie sprawę, że jest ona powtórzeniem planimetrii w przestrzeni. – Prosta geometria. W zadaniach geometrycznych stosujemy ciągi liczbowe i funkcje trygonometryczne. – Nie tylko dla orłów (5). Proste dowody trudnych zagadnień z zakresu geometrii. Nie zabraknie także liczb zespolonych. – Programowanie obiektowe w JavaScript. Obiekt w ujęciu programistycznym reprezentuje pewien byt. Świat Matematyki nr 54– Gorącego lata. Pomysł na temat tego artykułu powstał w czasie bardzo ciepłych zeszłorocznych wakacji. Zapraszamy zatem do pomiaru temperatury w gorące lato. – Styczna do okręgu. Konstrukcja stycznej do okręgu jest znana niemal każdemu. Mało kto jednak wie, że istnieje wiele innych sposobów takich konstrukcji. – Zadania logiczne. Ponieważ Czytelnik podzielił się z nami swoimi wątpliwościami, postanowiliśmy rozwiać je wszystkie. – Problem „Na okręgu”. Inspiracją było ciekawe rozwiązanie przez Czytelnika – trudny problem omówiony w sposób oczywisty. – Rozważania o liczbach (2). Proponujemy kolejny artykuł, w którym zajmujemy się porównywaniem i szacowaniem różnych wielkości. – Trygonometria dla każdego. Zapraszamy do nierówności trygonometrycznych. – Nie tylko dla orłów (6). Zagadnienia algebraiczne, które można oczywiście rozwiązywać w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz w zbiorze liczb zespolonych są o wiele prostsze. Nie zabraknie też nierówności – w tym Czebyszowa. – Nie tylko wzór Herona. Pole trójkąta liczone inaczej. – Obiekty wbudowane w JavaScript. Świat Matematyki nr 55– Gry z rodziny mankala. Zapraszamy do świata najstarszych gier strategicznych. – Ile geometrii w sztuce? Geometria pasjonuje artystów z różnych krajów i kultur. Korzystali z niej nawet artyści z prymitywnych plemion tysiące lat temu. – Młodzi przyjaciele Gaussa. Czytelnik „Świata Matematyki", członek naszego Klubu Młodych Przyjaciół Gaussa, dzieli się spostrzeżeniami na temat trójek pitagorejskich. – Geometria Platona. Platona znamy jako filozofa, a nie matematyka, jednak w jego poglądach filozoficznych matematyka odgrywała kluczową rolę. – Styczna do kuli. Jeśli potrafimy już skonstruować styczną do okręgu, to przenieśmy się w przestrzeń trójwymiarową. – Rozważania o liczbach (3). Rozważymy dowody twierdzeń czy bliskie Eulerowi zagadnienia na temat rozkładu liczb na sumę kwadratów. – Świat potęgi. Proponujemy kolejny artykuł, w którym zajmujemy się porównywaniem i szacowaniem różnych wielkości. – Logarytmy dla każdego. Funkcje logarytmiczne i wykładnicze uważane są za trudne – my to jednak prosto wyjaśniamy. – Nie tylko dla orłów (7). Zapraszamy do świata kwadratów – liczby całkowite można zapisać jako sumę czterech kwadratów liczb naturalnych, co udowodnił Joseph L. Lagrange. – JavaScript a przeglądarki internetowe. Świat Matematyki nr 56– Geometria samurajów. Japońscy matematycy (samuraje) tworzyli drewniane tabliczki z namalowanymi zadaniami matematycznymi, które prezentujemy. – Matematyczna kawa. Siedząc w miękkim fotelu, przenieśmy się do Grecji i rozwiążmy problem podwojenia sześcianu bez pomocy kapłanki Pytii z Wyroczni Delfickiej. – Kula pośrednia w czworościanie. Kontynuujemy temat analogii i różnic geometrii 2D i 3D. – Sięgamy po ciągi. Wyznaczanie granic ciągów stanie się dla każdego proste. – Rozważania o liczbach (4). Zapraszamy do poszukiwania rozwiązań zadań „nie do rozwiązania”. – Nie tylko dla orłów (8). Lotem przez ciągi i szeregi harmoniczne. – Ile geometrii w sztuce? (2). Z Japonii wędrujemy do Chin i Korei, odkrywając geometryczny fenomen, jakim jest chińska krata. – JavaScript a przeglądarki internetowe (2). Interakcja JavaScript ze stroną WWW. Świat Matematyki nr 57– Starożytne problemy. Rozwiązujemy problemy Apoloniusza, znanego greckiego geometry sprzed dwóch tysięcy lat. Ich rozwiązanie jednak nie jest oczywiste. – Geometria 3D. Zapraszamy do rozważań geometrycznych. Zajmiemy się czworościanem ortocentrycznym – wyjdziemy nawet poza trzeci wymiar. – O funkcjach ciekawie. Prezentujemy arcusy, rozpoczynając jednak od funkcji okresowych. – Pole figury a całka. Celem tego artykułu nie jest nauka całkowania, chociaż będziemy znajdować całki poszczególnych funkcji. Czy warto zgłębiać tajniki całkowania, by posługiwać się tak wspaniałym narzędziem? – Nie tylko dla orłów (9). Matematyka jest pełna przeróżnych liczb. Zapraszamy w podróż po świecie liczb przestępnych. A co to takiego – zaraz zobaczycie. – Greckie rozety i ich symetrie. Zajmowaliśmy się już geometrią w sztuce japońskiej, a potem w chińskiej – tą z prostą geometrią teselacji trójkąta foremnego. Teraz zastanowimy się nad obecnością elementów geometrii w sztuce starożytnych Greków, tworzących początki naszej cywilizacji. Świat Matematyki nr 58– Niespodzianki na Ziemi. Rozwiążmy matematycznie niespodzianki kulistości Ziemi za pomocą sznurka. – Układy równań. Wracamy do starożytnego Babilonu. Rozwiążmy układ równań za pomocą nożyczek i kartki papieru. – Spójrzmy inaczej. Rozwiązania układów równań przy pomocy wyznaczników. A co to takiego? Zaraz zobaczycie. – Budujemy funkcje. Pojęcie funkcji elementarnej i złożonej – bardzo przydatne przy wyznaczaniu pochodnych. – Pole figury a całka (2). Korzystając z rachunku całkowego, wyznaczamy wzór na pole koła i obwód okręgu. – Okrągłe zadanie. Obejrzyj połowiące się koła o jednakowych promieniach w równaniach trygonometrycznych. – Ciekawa geometria. Poznaj nieznane własności trójkąta oraz punktów przecięcia jego symetralnych i dwusiecznych. – Poszukiwania pierwszych. Trzy ciekawe rozwiązania zadania konkursowego, także za pomocą programu komputerowego. – Rozważania o liczbach (5). Wędrówka przez sześciany i liczby niewymierne. – Nie tylko dla orłów (10). Przedstawiamy ciągi (również iloczynów) i szeregi, przydatne przy wyznaczaniu liczby Pi. – JavaScript a przeglądarki internetowe (3). Zdarzenia i obsługa zdarzeń w języku JavaScript. Świat Matematyki nr 59– Metoda graficzna. Jeden z naszych Czytelników opisał swój autorski sposób rozwiązywania równań kwadratowych metodą graficzną. – Nie tylko układy równań. Zapraszamy w podróż do Babilonu, kolebki równań matematycznych. Matematyka przy pomocy kartki papieru i nożyczek. – Gawędy Pana Mathematicsa. „Matematyka to nauka o przedmiotach nieistniejących" – Hugo Steinhaus. – Fizyczne problemy. W zadaniach na drogę, czas i prędkość może na nas czyhać wiele zaskakujących niespodzianek. – Matematyka w praktyce. Matematyka jest praktycznie wszędzie, zapraszamy do jej wykorzystania na co dzień – rozpoczynamy od banków. – Trójkąt a czworościan. Ile znanych własności trójkąta można przenieść na czworościan? Czy istnieje ortocentrum? – Funkcje hiperboliczne. Wykorzystamy liczbę Nepera do budowy funkcji hiperbolicznych. – Nie tylko dla orłów (11). Przedstawiamy własności algebraiczne prawdopodobieństwa. – Pójdźmy dalej z piękną relacją. Dwa wyrażenia, które wzbudzają ciekawość swą zawartością, piękną strukturą oraz wzajemną relacją. Świat Matematyki nr 60– Gawędy Pana Mathematicsa (2). Czas na kolejne odkrycia. Tym razem będziemy porównywać obiekty i szukać dla nich miar. – Wakacyjny czas. Co prawda, wakacje już za nami, lecz proponujemy jeszcze, na jesienne wieczory, ciekawe zadania, w których logika jest niezbędna. – Socjologiczne odległości. Rozważmy odległości pomiędzy... ludźmi. Tak, tak. Zajmował się tym już wybitny węgierski matematyk Paul Erdős. – Trzech wspaniałych. Zmierzmy się z problemami trzech sławnych matematyków żyjących od starożytności do czasów współczesnych. – Liczby pierwsze w równaniach. Sposoby na rozwiązania niemieszczące się w głowie. – Wieczna geometria. Rozważania z początków nowej ery na temat trójkąta i rozwiązania stosowane do dzisiaj. – Trzeci wymiar Pitagorasa. Po raz pierwszy – niespotykana prezentacja twierdzenia Pitagorasa w 3D. – Prosta nieznana. Spacer po prostej Eulera. – Szwajcarski geniusz. Proste wzory Eulera zaskakują najbardziej. – Nie tylko dla orłów (12). Spróbuj udowodnić hipotezy Beala oraz Riemanna. – Piękne relacje (2). Czytelne rozwiązanie zadania nie do rozwiązania. – Zadania JavaScript. Świat Matematyki nr 61– Matematyka Majów. Cywilizacja starożytnej Ameryki stworzyła i posługiwała się już systemem liczbowym. – Wyznaczenie wartości logarytmów. Rachunek logarytmiczny powstał w XVI w. i jest stosowany aż do dzisiaj. Warto zatem go wreszcie poznać. – Z podręcznika naszych dziadków. Zagłębiając się w podręczniki wydane w latach czterdziestych ubiegłego wieku, można dowiedzieć się wielu ciekawych rzeczy. – Wielościany Keplera-Poinsota. Tworzymy przestrzenne gwiazdy, będące nawet dwudziestościanami, opisywane już w XVII wieku. – Trzeci wymiar Pitagorasa (2). Inne spojrzenie na twierdzenie Pitagorasa w 3D, publikowane w poprzednim wydaniu. – Rozważania matematyczno-fizyczne. Jest to zadanie niezwykłe, ponieważ jego rozwiązaniem będzie konkretna wartość liczbowa, znaleziona mimo braku kompletnych danych w postaci liczb. Jak to jest możliwe? A jednak! – Nie tylko dla orłów (13). Nie jest prawdą, że rachunek całkowy jest trudny. Zapraszamy każdego do jego poznania. – Java Script. Wyjaśnienia kolejnych pojęć języka i Matematyki nr 62 – Optymalizacja. Wdzięczny temat dla zadań maturalnych z matematyki rozszerzonej. – Kąt widzenia. Oglądanie obrazów zawiera ciekawy aspekt matematyczny – szukamy największego kąta widzenia. – Z podręcznika naszych dziadków (2). Równania trygonometryczne mogą sprawiać problemy. Prezentujemy nie tylko świat trygonometrii. – Cyfromania. Niecodzienne metody rozwiązań, które mogą być znakomitą wskazówką dla zagadnień nie do rozwiązania. – Liczby Bernoulliego. Prezentujemy działania współtwórcy rachunku wariacyjnego i prawdopodobieństwa. Obecni są także Leonhard Euler i Ernst Kummer. – Nie tylko dla orłów (14). Dla poprawienia sprawności naszych umysłów, oddajmy się stawianiu hipotez oraz rozwiązywaniu zagadnień dla liczb doskonałych. – JavaScript. Zadanie egzaminacyjne dla każdego. Świat Matematyki nr 63 – Pająk i mucha. Geometryczna podróż pająka i muchy po dowolnym prostopadłościanie. – Wielomiany. Prosty temat, a niesie wiele niespodzianek. Skorzystamy z dzielenia wielomianów przez dwumian oraz twierdzenia Bézouta. – Poszukiwanie. Wyznaczamy ułamki, korzystając z równania Pella. – Gawędy Pana Mathematicsa (3). Matematyka światła, czyli o geometrii w optyce. Skorzystamy z zasady Christiaana Huygensa. – Inne spojrzenie. Zapraszamy do zabawy liczbami ciągów liczbowych, funkcji matematycznych oraz penetracji zbiorów liczb pierwszych. – Z podręcznika naszych dziadków (3). Skorzystaj z pochodnych do rysowania wykresów funkcji na papierze. – Suma kolejnych kwadratów. Poszukiwania w świecie liczb naturalnych. – Nie tylko dla orłów (15). Przeprowadzamy dowody i wykazujemy zależności dla liczb naturalnych. – Java Script (4). Biblioteka jQuery. Świat Matematyki nr 64 – Mnożenie inaczej. Wygodna technika Napiera sprzed ponad 400 lat do stosowania dzisiaj. – Systemy pozycyjne. Czy system dwunastkowy jest powszechny? Zapraszamy do świata systemów pozycyjnych. – Liczby wielokątne. Poznajmy własności liczb, o których nie śniło się nikomu. – Polowanie na ryby i komary. Prezentujemy dwa zagadnienia, które dają zdumiewający wynik, ale nie uprzedzajmy faktów. – Gawędy pana Mathematicsa (4). Tym razem zapraszam na księżyce Hipokratesa. – Świat figur płaskich. Odległości, ich sumy oraz geometryczne minima pomiędzy określonymi punktami są proste. – Poryzm Steinera. Tworzymy styczne okręgi dzięki pomocy szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera. – Nie tylko dla orłów (16). Zapraszamy do lotu w przestrzeni zespolonej. – Java Script (5). Biblioteka jQuery (2). Świat Matematyki nr 65 – Zabawa matematyką. Matematyka jest prosta i może sprawiać wiele radości z niespodziankami. – Narzędzia Ptolemeusza. Astronom w geometrii. Twierdzenia z początków naszej ery stosowane do dzisiaj. – Przegubowe formy. Tworzymy ruchome mechanizmy, które mogą nawet chodzić czy kreślić proste. – Optymalna decyzja. Przy podejmowaniu decyzji warto skorzystać z narzędzi matematyki. – O funkcjach ciągłych. Niecodzienne metody rozwiązywania zadań, które mogą być znakomitą wskazówką dla zagadnień nie do rozwiązania. – Nie tylko dla orłów (17). Powrót pochodnych wyższego rzędu – korzystamy także ze wzoru Leibniza. – Matematyka czasu i przestrzeni. Rozważania ruchu w przestrzeni, który – jak na razie – istnieje tylko w świecie Matematyki nr 66 – Konstrukcja George'a Pólyi. Zadanie z geometrii rozwiązane przy użyciu cyrkla i linijki. Czy ktoś tak jeszcze potrafi?– Apoloniusz powraca. Tym razem prezentujemy zagadnienia konstrukcji okręgów, przy pomocy inwersji, korzystając z dziesięciu problemów sformułowanych przez Apoloniusza– Zespolone zadanie. Geometria w dziedzinie liczb zespolonych– Objętość kuli po chińsku. Znany nam wzór na objętość kuli wyznaczony został, w Chinach, przy użyciu mouhefanggai, już w V wieku naszej ery– Równania funkcyjne. Warto się przekonać, czy niewiadomą w równaniach może być również funkcja– Podzielności. Wyznaczamy podzielności, korzystając z indukcji matematycznej i kongruencji– Pierwiastki zagnieżdżone. Czy Srinivasa Ramanujan z Indii, twórca nowych teorii, ale bez pełnego wykształcenia matematycznego, korzystał z pomocy bogini Namagiri?– Nie tylko dla orłów. Tym razem zmierzymy się z nierównościami w prostokącie, nierównościami Schwarza oraz cyklicznymi. Przekonajmy się, czym one są zadania do rozwiązaniaSPIS TREŚCI (pdf)

Policzcie z ilu kwadratów i trójkątów są zbudowane figury w bąbelkach 1 i 2 (bąbelek to niebieska duża kropka). Analogicznie wykonajcie zadanie 1,2,3/237 – sprawdźcie wyniki w odpowiedziach. To co liczyliście, ilość kwadracików lub trójkącików, to pole danej figury. To ilość papieru jaką potrzebujemy do wypełnienia figury.

Drogi Uczniu ! Na tej stronie w poniedziałki i środy będę przekazywać Ci zadania do wykonania. Życzę Ci wytrwałości i powodzenia. (środa) 1. Trening koncentracji ( może Ci w tym pomóc ktoś dorosły): - narysuj na środku kartki czarną kropkę, wkoło niej 12 dowolnych liter ( przypomnij sobie jak robiliśmy to w szkole). Patrząc na punkt staraj się przeczytać wszystkie litery, powtórz tę czynność kilka razy, za każdym razem postaraj się robić to szybciej, ale litery wymawiaj dokładnie. - to samo możesz zrobić pisząc wokół kropki sylaby. 2. Z dowolnego tekstu, podręcznika wybierz sobie 4 zdania i przepisz do zeszytu najlepiej jak potrafisz. (poniedziałek) 1. Rozwiąż zagadkę: W marcu się zaczyna, gdy się kończy zima Przyjdzie z wiatru ciepłym wiewem Z pięknem kwiatów, z ptaków śpiewem. 2. Ułóż 3 zdania z wyrazem, który jest rozwiązaniem zagadki. ( Pamiętaj! Ćwiczymy piękne, wyraźne, bezbłędne pismo, postaraj się więc napisać ładnie). 3. w swoich zdaniach podkreśl rzeczowniki i czasowniki. 4. Poczytaj 15 min. dowolny tekst. (środa) 1. Przeczytaj wyrazy, łącząc ich części: stal-ówka, złot-ówka, groch-ówka, klas-ówka, żag-lówka, wędr-ówka, kryj-ówka 2. Wybierz trzy spośród nich, ułóż z nimi zdania (pamiętaj o prawidłowym łączeniu liter) 3. Poczytaj 15 min. dowolny tekst. (poniedziałek) 1. Odszukaj z rozsypanych liter i zapisz, co zapakował do plecaka Bratek. i k d e r k a k w ó r e p m e t g a u k m ś e ni ni o o a d s ł i u p g o 2. Przeczytaj wyrazy w linijkach, zwracając uwagę na wyróżnioną literę R, BARKI BRYCZKI BRYŁA DOBRA KORTY GARNEK GRODZIĆ KORKI MODRA PARKA SZARFA WARGA WARTA STROPY PRANIE LARWA SROKI DRĄŻYĆ GRADY BRAKI A teraz przeczytaj te wyrazy w pionowych rzędach, opuszczając literę R. Może sam wymyślisz jakieś inne wyrazy, które po odjęciu jednej litery, pozostałe utworzą inny wyraz. Zachęcam, dasz radę! 3. Przeczytaj co drugie okienko, zapisz to zdanie z pamięci. ŚCIĄ PA GAW TA KA TOR TO SAW O CZA SZU RA KA SA NA PAW SPRAW SZU KA. PAR 1. Łukasz, przeczytaj przysłowia i powiedz, co one znaczą. Wybierz jedno z nich i daj odpowiedź pisemną (cały czas pamiętaj o poprawnym piśmie). Być dumnym jak paw. Wtrącać swoje trzy grosze. Śmiać się przez łzy. Nie mieć za grosz wstydu. Głową muru nie przebijesz. Nie czyń drugiemu, co Tobie niemiło. Mała niespodzianka! Będziesz miał ułatwienie, bo jedno z przysłów wytłumaczę ja. Śmiać się przez łzy, to znaczy pokonywać smutek i wyrażać radość. W ostatnim czasie może masz takie smutne chwile, więc postaraj się mimo wszystko śmiać i być wesołym. Tego Ci życzę! mała łamigłówka. j ż e u ż k - wykreśl wyraz jeż, jaki wyraz powstanie? ł w y i ż e k ż a a - wykreśl wyraz wieża, jaki wyraz powstanie? ż ż o a n r k ó i w l k a - wykreśl wyraz żarówka, jaki wyraz powstanie? 3. Narysuj jak najlepiej potrafisz, to co jest rozwiązaniem trzeciej łamigłówki. 4. Poczytaj 10 minut dowolny tekst. (poniedziałek) Łukasz zadania na dziś znajdziesz na mailu. Pozdrawiam i przesyłam najlepsze życzenia, bo jeśli się nie mylę, to wczoraj obchodziłes urodziny. (środa) Podobnie jak ostatnio karty pracy na dziś znajdziesz na mailu. Ponieważ święta coraz bliżej, więc dzisiejsze zadania będą związane właśnie z tym tematem. Myślę, że sprawią Ci wiele radości. (środa) Witam po przerwie świątecznej, wracamy do nauki. Kartę pracy znajdziesz na mailu, a poza tym: 1. Ułóż i napisz jak najwięcej wyrazów z wyrazu TULIPAN (możesz dowolnie przestawiać litery, jedna litera może być użyta w kilku wyrazach). 2. Z jednym z nowo powstałych wyrazów ułóż zdanie i postaraj się napisać starannie. (poniedziałek) 1. Patrząc na literę H odczytaj znajdujący się nad nią wyraz. HAK HERB DRUH HOTEL HIENA HANIA HARCERZ H H H H H H H zgromadzone wyrazy. Zadanie wykonaj trzy razy, za każdym razem postaraj się zrobić to szybciej . hokej, hulajnoga, hiena, helikopter, herb, hejnał, hulajnoga, hak, herbatnik, harmonia, wahadło, hotel, haft, herbata, druh, hałas, huśtawka, harfa, hejnał, wehikuł ,horyzont, harcerz, hamak. Jak zauważyłeś, wszystkie te wyrazy piszemy przez "h" lub w środku mają "h". Zapamiętaj sobie ich pisownię. 3. Wybierz 3 dowolne spośród nich i ułóż z nimi zdania, Przypominam o starannym i poprawnym piśmie. Prześlij mi te zdania. 4. Przeczytaj zdania, domyślając się brakujących fragmentów Spiewak buduje w krzakach gniaz..... w kształcie filiżanki, pokryte błotem i suchą tra..... . Składa w nim cztery bądź pięć błękitnych ja.... . Ma w zwyczaju używać ulubionego kamie.... jako ulubionego "kowadła", na którym rozbija ślima.... . (środa) Łukasz, kartę pracy przesłałam na maila. Zanim jednak ją otworzysz, weź ostatni tekst jakiego uczyłeś się czytać z twojego podręcznika i przepisz bardzo starannie 4 dowolne zdania (przeslij mi je). Ostatnio napisałeś bardzo brzydko, więc teraz się postaraj. (poniedziałek) Karty pracy znajdują się na mailu. Na pierwszej - gdzie będziesz przepisywał zdania, podkreśl jedną kreską wszystkie rzeczowniki, dwoma - czasowniki. Postaraj się! (środa) 1. Postaraj się odszyfrować zapisane wspak wyrazy: keleF letof ikłokif agif akof nofelet nafetS mlif naipetrof 2. Może spróbujesz ułożyć jakąś historyjkę z tymi wyrazami, nie musisz używać wszystkich. 3. Przeczytaj zestawy wyrazów, nazwij je jednym słowem: - naszyjnik, pierścionek, kolczyki, to.................. - pszenica, jęczmień, żyto, owies, to.................. - dowcip, humor, figiel, psikus, to........................ - mleko, chleb, ser, kiełbasa, to........................... - powietrze, ogień, woda, ziemia, to.................... Mała podpowiedź - wszystkie odgadnięte wyrazy zawierają "ż". Napisz te wyrazy z pamięci i postaraj się zapamiętać pisownię. (poniedziałek) Łukasz, karty pracy przesłałam na maila. Powodzenia! (środa) Łukasz, dzisiaj mam dla Ciebie zagadki. Przeczytaj je, zastanów się, czy każda z nich może mieć tylko jedno rozwiązanie? Przedstaw w postaci rysunku swoje pomysły. I zagadka Są w nim koła, prostokąty i na pewno dwa kwadraty. Mama mówi, że ten przedmiot bardzo ważny jest dla taty. II zagadka Są w nim koła, prostokąty, dwa kwadraty też dodamy. Tata mówi, że ten przedmiot bardzo ważny jest dla mamy. III zagadka A teraz się zastanowię, co z tych samych figur narysuję sobie. Miłej zabawy, może również dla innych domowników (poniedziałek) Witam w nowym tygodniu pracy. Kartę pracy na dzisiejszy dzień znajdziesz na mailu. Powodzenia! Łukasz dzisiaj poćwiczyśz wymowę i jak zwykle pisownię. 1. Na początku tasiemiec wyrazowy, oddziel wyrazy, przeczytaj je wyraźnie następnie przepisz starrannie do zeszytu. Zwróć uwagę, że są to wyrazy z trudnościami ortograficznymi, zapamiętaj ich pisownię. dżunglażurawdżdżownicażabadżudobagażżyrafadżemdżdżysty 2. Teraz łamańce językowe, najpierw przeczytaj powoli, póżniej trochę szybciej, ale jedno jest bardzo ważne, abyś przeczytał je WYRAŹNIE! Czarna krowa w kropki bordo, żuła trawę kręcąc mordą W Szczebrzeszynie, chrząszcz brzmi w trzcinie Król Karol kupił królowej Karolinie korale koloru koralowego Konstantynopolitanczykowianeczka W czasie suszy szosa sucha To cóż, że ze Szwecji, to nic, że ze Szwecji 3, Trzy łamańce, które sprawiły Ci najwięcej trudności przepisz do zeszytu. Dzień dobry, karty pracy na dzisiaj i środę znajdziesz na mailu. Pozdrawiam. Łukasz, dzisiaj proponuję Ci trochę powtórki z ortografii. W miejsce kropek wstaw odpowiednie litery. Dzisiaj również proponuję ćwiczenia z ortografii. W pionowych i poziomych rzędach diagramu ukryte są wyrazy z "h". Odszukaj je, zapisz starannie w zeszycie. w h i a c y n t h h h e r b a t a c c u f g r h a f t h ł ś h i p o p o t a m t o h j k d k j k c a t w h e g u a a b w e d r j s j s r n k l r f g f s f g y a w e h i k u ł p t k Wybierz cztery dowolne wyrazy z "h" z diagramu, ułóż z nimi zdania. Zastanów się i skreśl błędną literę: (h, ch) erbatnik (h,ch) mura (h, ch) ipopotam (h, ch) rabąszcz (h, ch) oinka Łukasz, dzisiaj Twoje święto - DZIEŃ DZIECKA. Kiedy lekcje odbywały się w szkole, ten wyjątkowy dzień obchodziliśmy inaczej, na wesoło, nie było nauki. Proponuję, aby dzisiaj też tak było. Przyjmij więc ode mnie życzenia, które są poniżej i MIŁEGO, WESOŁEGO ŚWIĘTOWANIA!!! Kartę pracy znajdziesz na mailu. Łukasz, dzisiaj trochę pod kątem podróżowania i wakacji. Kartę pracy przesłałam na maila. Pozdrawiam. Łukasz, dzisiaj proponuję Ci różne zadania, zabawy, ćwiczenia, dzięki którym poćwiczysz swoją pamięć, koncentrację, spostrzegawczość. MIŁEJ I OWOCNEJ ZABAWY! A teraz trochę trudniejsze... Łukasz, dzisiaj już trochę wakacyjnie. 1. Wybierz trzy wyrazy, które kojarzą Ci się z wakacjami i ułóż z nimi zdania. Podkreśl w zdaniu te wyrazy. 2. Dokończ zdania i oczywiście przepisz starannie do zeszytu: Na wakacje pojadę do babci nad ....... Będę tam ........ Moje wakacje będą........ 3. Co można robić na wakacjach? Połącz pasujące do siebie wyrazy. ryby budować kąpać się w piłkę na szczyty łowić w basenie opalać się zamki z piasku grać na rowerze zabytki zwiedzać na leżaku wspinać się jeździć Może jeszcze wakacyjna piosenka? Posłuchaj i pośpiewaj Dzisiaj w dalszym ciągu wakacyjnie i na wesoło. Otwórz poniższy link i udaj się na wspaniałą, wirtualną wycieczkę. (ŚRODA) Łukasz, dzisiaj nasze ostatnie spotkanie. Proszę, przeczytaj kilka wskazówek, dzięki którym Twoje wakacje będą bezpieczne, szczęśliwe. WSPANIAŁYCH WAKACJI!!!

Sa w nim koła prostokąty dwa kwadraty tez dodamy tata mówi ze ten przedmiot bardzo wazny jest dla mamy Natychmiastowa odpowiedź na Twoje pytanie. darek2381 darek2381

Kwadrat znamy wszyscy. Cztery odcinki równej długości, stykające się pod kątami prostymi. Co można dojrzeć w nim ciekawego? Chyba… nic. No, to popatrzmy i poczytajmy. Najpierw pomyślmy, gdzie spotykamy kształty kwadratowe. Jest ich wiele wokół nas. 1. Jedziemy drogą z pierwszeństwem przejazdu Nastolatku: musisz już wiedzieć, co mówi znak drogowy z rysunku 1. Ćwiczenie. Jakie sporty uprawia się na kwadratowym polu? Podam jeden przykład: ring bokserski. Poszukaj innych. Teraz swego rodzaju zestaw obowiązkowy z matematyki. Kwadrat o boku a ma obwód 4a i pole a2. Właśnie dlatego druga potęga liczby (a więc jej iloczyn przez siebie samą) jest nazywana kwadratem. Przekątna kwadratu jest równa W mojej szkole (to znaczy tej, w której byłem uczniem) należało pamiętać, że w przybliżeniu to 1,4142 - trochę mniej niż półtora. Matematycznie rzecz biorąc, kwadrat jest prostokątem. Pewnym specjalnym, ale jednak prostokątem. Jest też rombem i deltoidem. Przypomnę, że deltoid wygląda jak latawiec (rysunek 2). W języku potocznym jest nieco inaczej: nawet matematyk powie: "mój pokój nie jest kwadratowy, ale prostokątny". Odróżniajmy jednak dopuszczalne kolokwializmy od precyzyjnego języka matematyki. Na przykład, podoba mi się celne określenie sprawozdawców piłkarskich: bramkarz skrócił kąt. Matematycznie jest bezsensowne: kąt nie ma długości. Ale wiadomo, o co chodzi. Tak sformułowane określenie kwadratu (jak w podpisie do rysunku 2) spełnia arystotelesowskie wymagania co do definicji pojęć: genus proximum et differentia specifica. Na polski tłumaczymy to jako "najbliższy rodzaj i różnica gatunkowa". Można i należy to rozumieć tak: Rodzaj: prostokąty. Różnica gatunkowa: równe boki. Rodzaj: romby. Różnica gatunkowa: równe przekątne. Rodzaj: deltoidy: Różnica gatunkowa: kąty proste. Rysunek 2. Zadanie (trochę z matematyki, a trochę na rozumienie, o co chodziło Arystotelesowi). Wykaż, że w rodzaju "wielokąty" kwadrat jest wyróżniony przez różnicę gatunkową: 16 pole = obwód2. Najpierw: wyraź to prościej, o co w tym chodzi. A oto następne zadanie, między życiem a matematyką. Z doświadczenia wiemy, że pokój "kwadratowy" jest mniej ustawny niż prostokątny (oczywiście użyłem tu obu określeń w potocznym sensie) - byle prostokąt nie był zbyt "podługowaty". Czy jest w tym jakaś matematyka? Oczywiście, że jest (jak we wszystkim). Przypatrzmy się różnym pokojom o 24 metrach kwadratowych. Rysunek 3. Widzimy, że im bardziej wydłużony prostokąt, tym większy ma obwód. Meble w pokoju stawiamy raczej przy ścianach. Dlatego im większy obwód, tym więcej możemy ustawić… dopóki długość nie stanie się zbyt uciążliwa. Przypomnę i zasadę złotego podziału. Można ją sformułować tak: całość ma się do większej części tak, jak większa do mniejszej. Jak się to wyraża matematycznie? Jeżeli całość oznaczymy przez 1, a większą część przez x, to mamy równanie po jego rozwiązaniu dostajemy przybliżenie x=0,618. Prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku, wygląda tak, jak na rysunku 4. Dodajmy, że flaga Polski ma być prostokątem o rozmiarach 8:5, co jest bliskie złotemu podziałowi. Ale pokój mieszkalny o tym kształcie było jednak zbyt "podługowaty". Rysunek 4. Zadanie. Wykaż, że spośród prostokątów o tym samym obwodzie, kwadrat ma największe pole. Nauczyciele akademiccy mają tendencję do dowodzenia takich faktów za pomocą rachunku różniczkowego. Owszem, jeżeli bokami prostokąta są x, y, obwodem 2p, to y=p–x, a polem jest xy=x(a–x). Pozostaje znaleźć wartość największą widocznej funkcji kwadratowej. Ale nas interesują metody geometryczne. Spójrzmy na rysunek 5. Jeżeli prostokąt AGHD nie jest kwadratem, to ma nierówne boki. Można wtedy skrócić jeden bok, a przedłużyć drugi, żeby otrzymać prostokąt o trochę większym polu. Pole CEFD jest większe od pola BGHC. A zatem tylko kwadrat może mieć największe pole w klasie wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie. Czy to znaczy, że kwadrat ma największe pole w klasie wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie? Dziwne pytanie. No, przecież właśnie to wykazaliśmy. 5. Lepszy kwadrat niż prostokąt Jeszcze nie. Spójrzmy na takie rozumowanie, mające "wykazać", że liczba 2021 jest największa. Dla każdej liczby mniejszej od 2021 da się znaleźć większą od niej, a więc istotnie 2021 jest największa. Gdzie robimy błąd? Mianowicie tu, że zakładamy, że w ogóle istnieje liczba największa. Założenie jest jednak błędne, wobec tego oparte na nim rozumowanie jest nic niewarte i nic nie daje. Mamy jeszcze zatem przekonać się, że wśród wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie istnieje jeden o największym polu. Zwracam uwagę, że takiego prostokąta o najmniejszym polu nie ma! I to posłuży mi do dowodu, że największe pole jest osiągalne. Jeżeli prostokąt o stałym obwodzie jest bardzo długi i wąski, to pole jest bliskie zera. Podobnie, gdy jest bardzo wysoki o niewielkiej podstawie. Między tymi skrajnościami musi gdzieś być maksimum. Przypominałem już, że przekątna kwadratu jest liczbą niewymierną Obecnie niewymierność tej liczby wykazujemy prostym rozumowaniem algebraicznym. Uczniowie słabo rozumieją, o co w tym wszystkim chodzi. Komputery… też nie. Liczby niewymierne nie są w ogóle potrzebne do obliczeń praktycznych. Co mi z informacji, że do pomalowania okrągłego boiska potrzeba, powiedzmy, kilograma farby. W takich opakowaniach farby się nie sprzedaje. W sklepie muszę to i tak przeliczyć na "zwykłe" liczby. A jednak liczby niewymierne odegrały niesłychanie ważną rolę w historii cywilizacji europejskiej. Europejską filozofię poznawania świata zawdzięczamy Pitagorasowi. Jego szkoła-sekta pierwsza zaczęła przyglądać się światu oczami rozumu. Dla pitagorejczyków wszystko było liczbami i stosunkami liczb - oczywiście tylko liczb takich, jak 1, 2, 3, 4,…, 100,… Dzisiaj nazywamy je liczbami naturalnymi. I nagle odkryli, że przekątna kwadratu taką liczbą nie jest… to znaczy długość tej przekątnej. To piękne rozumowanie. Dokładniej, pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem. Nie ma takiego odcinka, który mieściłby się całkowitą liczbę razy i w przekątnej, i w boku. Jak udowodnić, że czegoś nie ma? Służą do tego dowody nie wprost. Stosujemy je bezwiednie i na co dzień. Rysunek 6. Rysunek 7. Przypuśćmy, że bok kwadratu ABCD jest współmierny z przekątną. Na rysunku 6 małe odcineczki wypełniają i bok, i przekątną. Długość takiego odcinka s nazwiemy wspólną miarą boku AB i przekątnej AC. Co widzimy? Że to samo s jest wspólną miarą mniejszego kwadratu BECO i jego przekątnej BC. Ważne, że to to samo s. Skoro jednak tak, to owo s będzie wspólną miarą dla jeszcze mniejszego kwadratu i jego przekątnej. Skoro tak, to owo s będzie wspólną miarą dla jeszcze mniejszego kwadratu i jego przekątnej. Celowo powtórzyłem poprzednie zdanie. Kwadraty będą się zmniejszać i zmniejszać, a wspólna miara nie będzie się zmieniać. Wreszcie kwadraty staną się rozmiarów mniejszych niż s… Tak być nie może. Coś jest źle! Co? Po prostu nasze przypuszczenie, że owa wspólna miara w ogóle istnieje, było błędne. Nie ma jej! Co za rozumowanie! Ponad 2500 lat temu! Może dlatego dzisiaj matematyka jest taka trudna, skoro już była taka ćwierć dekady temu (licząc za dekadę dziesięć tysięcy lat)? Bardzo lubię zadania z geometrii typu "dorysuj jedną kreskę, a rozwiążesz". Czy umiesz wyznaczyć pole mniejszego, czerwonego kwadratu na rysunku 7? Oczywiście w stosunku do pola całego kwadratu? Nie? To spójrz na rysunek 8 (szczególnie ten po prawej stronie). Już wszystko jasne? Na pewno. Trzeba było dorysować więcej kresek niż jedną, ale na dobrą sprawę to umieścić wszystko na kratkowanym papierze. Rysunek 8. Rysunek 9. Podejdźmy do tego zadania inaczej. Niech kwadrat ABCD ma boki długości 1. Wyobraźmy sobie, że punkt K porusza się jednostajnie do góry, w czasie od 0 do 1, ciągnąc za sobą cały kwadrat KLMN. Kwadrat ten zmniejsza się i obraca, gdy czas t dojdzie do 1, obróci się o całe 90 stopni. Ale nie to nas interesuje, tylko jego pole. Spójrzmy na rysunek 9. Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, co trzeba, to znaczy bok KL. Jest ona przeciwprostokątną w trójkącie KAL. Mamy oto wzór na pole zmiennego kwadratu. Sprawdźmy. Co się dzieje w połowie między 0 a 1, czyli w punkcie czasowym Kwadrat zmienił się na mniejszy, położony tak, jak znak drogowy na rysunku 1. Pole takiego kwadratu to połowa pola ABCD. I teraz, gdy wędrujący po AD punkt przystanął na chwilę w połowie swej drogi, jest miejsce na wielopiętrową dygresję. Kwadrat wpisany ułożył się tak, jak… u Sokratesa. Otóż w tekście Menon (bo trudno to nazwać książką) Platon opisuje, jak Sokrates nauczał chłopca geometrii. Polecił chłopcu narysować na piasku kwadrat, a potem narysować kwadrat dwa razy większy. Chłopiec narysował oczywiście tak, jak na rysunku 10. Wypada ze smutkiem stwierdzić, że 2400 lat po Sokratesie błąd ten powielają niektórzy nauczyciele, tłumacząc uczniom, że to, co narysowane w skali 1:2, jest dwa razy mniejsze. Polecam taką analogię: bierzemy mapę Polski w skali jeden do miliona. Jest to arkusz zbliżony rozmiarem do rozłożonej gazety. Polska ma 38 milionów mieszkańców, a zatem na takiej mapie miałoby się zmieścić 38 ludzi! Gdzie jest błąd w rozumowaniu? Metodą inteligentnie stawianych pytań Sokrates spowodował, że chłopiec sam doszedł do prawidłowej odpowiedzi, oczywiście tej, jak na rysunku 11. Stworzył w ten sposób metodę nauczania, zwaną dzisiaj właśnie sokratejską, a filozofom greckim zdarzenie to stało się przykładem, że wszyscy mamy w sobie jakąś przyrodzoną wiedzę, a rolą nauczyciela jest pomóc tej myśli wydobyć się na świat (matka Sokratesa była, używając dzisiejszej terminologii, akuszerką). Teoria ta odżywała w różnych formach i postaciach przez tysiąclecia. Autor tych słów uważa, że cała dydaktyka ogólna to tylko przyczynki do Sokratesa. Ale nie afiszuję się z tym poglądem. Rysunek 10, 11, 12, 13. Dygresja miała być wielopiętrowa. Azor, Burek, Czaruś i Drops stoją sobie spokojnie w wierzchołkach kwadratu ABCD (rysunek 12). Nagle Azor poczuł "coś" do Burka, Buruś do Czarka, Czarek do Dropsa, a Drops do Azora. Każdy pobiegł w kierunku tego drugiego… i co się stało? Pieski zatoczyły łuki i znajdując się zawsze w wierzchołkach obracającego się i malejącego kwadratu, spotkały się w samym środku. Fizycy nazwaliby ten punkt punktem osobliwym - co tam się działo, nie da się opisać równaniami. W końcu państwo Andrzej, Basia, Celina i Damian odciągnęli swoich pupilów i nawet z żadnym z nich nie trzeba było jechać do weterynarza. A krzywa, po której biegły, nosi w literaturze matematycznej taką właśnie nazwę: psia krzywa. Jej długość wyraża się skomplikowaną całką. Dobrze, że pieski o tym nie wiedzą. Będzie jeszcze następne piętro dygresji. Widzieliśmy, że pole kwadratu, obracającego się tak, jak na rysunku 8, jest równe 2t2-2t+1. Niech czas t biegnie od zera do jedynki. Przypomnijmy sobie z liceum parabolę, wykreślmy funkcję y=2t2-2t+1. Zgadza się: w położeniu zerowym "mały" kwadrat pokrywa się z dużym, potem maleje do tego "sokratejskiego" i w takim samym tempie rośnie. Jak częściowe zaćmienie Słońca przez Księżyc. Takie zaćmienie nazywane jest w astronomii obrączkowym. Pokolenia matematyków i fizyków dziwiły się, że w równaniach jest jakaś zaklęta mądrość, że jest w nich więcej, niż włożyliśmy w nie. Zobaczmy i my. Co się działo, gdy… jeszcze się nic nie działo, gdy nas nie było na świecie? W naszym przykładzie: co było w czasie ujemnym, na przykład dla Wartością funkcji jest Tyle jest równe pole "małego" kwadratu KLMN. Jak to? Dwa i pół? Przecież cały kwadrat ABCD ma pole 1 ? Rysunek 14. Rysunek 14 wyjaśnia tę pozorną sprzeczność. Dla ujemnego czasu kwadrat KLMN jest położony tak, jak na tym rysunku. Obliczmy jego pole inaczej, standardowo. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta KQL. Odcinek KQ ma długość sześciu "kratek", ale za jednostkę bierzemy cztery, zatem więc kwadrat przeciwprostokątnej KL to właśnie Naprawdę, równanie myśli za nas. Trzeba tylko umieć z nim się porozumieć. Nieco podobnie jest z komputerem. Obliczy, co mu zlecimy, ale to my osobiście musimy zrozumieć, co owo żelastwo nam wyrzuciło na ekran. I już ostatnie piętro dygresji. Na pewnym wykładzie użyłem właśnie tego określenia: "żelastwo". Obecny na sali wybitny informatyk, profesor wiodącej uczelni, pouczył mnie: "panie kolego, w komputerze nie ma ani atomu żelaza!". Rzecz jasna, podziękowałem za tę informację, a profesor poczuł się dowartościowany. Na zakończenie taki oto quiz; dałem go stypendystom Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci, na warsztatach matematycznych. Co to jest kwadratura koła? Czy może to to samo, co zawracanie Wisły kijem, czy jednak ma to inny odcień znaczeniowy? Ile minut trwa kwadrans? Gdy zbliżała się szósta, twój prapradziadek mógł powiedzieć, że jest „trzy na szóstą”. Która to była godzina? Co to ma wspólnego z liczbą cztery? W jakim sporcie mecz dzieli się na kwarty? W przewodniku po Tatrach z XIX wieku jest wspomniane, że kwarta masła kosztowała 50 centów. A pół wieku temu ja na wycieczce na Babią Górę nazbierałem sobie pełną kwaterkę malin. To ile tego było? A może potrafisz zagrać na fortepianie kwartę? W tym samym przewodniku jest informacja, że fotografia in quarto kosztuje 80 centów. Jakiej wielkości była ta fotografia? Gdy Księżyc jest w pierwszej kwadrze, to czy bliżej mu do nowiu, czy do pełni? Kiedy była w użyciu kwadryga? A może wiesz, jaką figurą geometryczną jest kwadryka? Powiem tylko, że sfera, czyli powierzchnia kuli, nią jest. Jak myślisz, jaki stopień dostaniesz, gdy powiesz na lekcji matematyki, że skoro wykresem funkcji liniowej jest linia, to funkcji kwadratowej - kwadrat? Jeśli zostaniesz lekarzem, to będziesz się uczyć o kwadricepsach i kwadriplegikach. To znaczy o czym i o kim? Generał przyjechał na inspekcję do wojsk ONZ, pilnujących rozejmu w pewnym mieście. Koszary były puste. Pułkownik tłumaczył: "W poprzednim kwartale kwaterowaliśmy w innym kwartale" - co to znaczy? Czy odezwałeś się kiedyś do kogoś: "ty ośle kwadratowy"? Jeśli tak, to trochę nieładnie, nawet jeżeli ten ktoś na to zasłużył. Michał Szurek Zobacz także: Dzielimy na pół - trójkąty i kwadratyKolorowe kwadraty i zaćmienia Słońca

.